Question

4．函數(shù)f（x）=x²+ax+3，已知不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}．
（1）求a；
（2）若不等式f（x）≥m的解集是R，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若f（x）≥nx對任意的實數(shù)x≥1成立，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最小值，從而求出m的范圍即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為x+$\frac{3}{x}$-4≥n對任意的實數(shù)x≥1都成立，令g（x）=x+$\frac{3}{x}$-4，x≥1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出n的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+3，
且f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}，
∴a=-4；
（2）由（1）得：f（x）=x²-4x+3，
∴f（x）=（x-2）²-1，
∴f（x）最小值為-1，
∴不等式f（x）≥m的解集為R，
實數(shù)m的取值范圍為m≤-1；
（3）∵f（x）≥nx對任意的實數(shù)x≥1都成立，
即x²-4x+3≥nx對任意的實數(shù)x≥1都成立，
兩邊同時除以x得到：x+$\frac{3}{x}$-4≥n對任意的實數(shù)x≥1都成立，
令g（x）=x+$\frac{3}{x}$-4，x≥1，
g′（x）=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{3}）（x-\sqrt{3}）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{3}$，令g′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{3}$，
故g（x）在[1，$\sqrt{3}$）遞減，在（$\sqrt{3}$，+∞）遞增，
故g（x）_min=g（$\sqrt{3}$）=-4+2$\sqrt{3}$，
故n≤g（x）_min=-4+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．