Question

18．已知兩曲線的參數(shù)方程為C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$，（θ為參數(shù)）；C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{4}{t^2}\\ y=t\end{array}$，（t為參數(shù)），且兩曲線的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)．
（1）求兩曲線的普通方程以及線段AB的長(zhǎng)度；
（2）若點(diǎn)P在曲線C₁上，且△PAB的面積為$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)即可得到曲線的普通方程，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)三角形的面積公式建立方程即可．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$，消去參數(shù)得（$\frac{x}{\sqrt{5}}$）²+y²=1，即$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1，
C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{4}{t^2}\\ y=t\end{array}$，消去參數(shù)得x=$\frac{5}{4}$y²，即y²=$\frac{4}{5}$x，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\\{{y}^{2}=\frac{4}{5}x}\end{array}\right.$得x²+4x-5=0，得x=1或x=-5，
∵x＞0，∴x=1，參數(shù)y=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則|AB|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（2）由（1）知，線段AB垂直于x軸，且長(zhǎng)度為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
又△PAB的面積為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴點(diǎn)P到直線AB的距離為3，
設(shè)P（x，y），則|x-1|=3，
∵-$\sqrt{5}$＜x＜$\sqrt{5}$，∴x=-2．
將x=-2代入$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1得y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故P的坐標(biāo)為（-2，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）或（-2，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查參數(shù)方程和普通方程的應(yīng)用，消去參數(shù)轉(zhuǎn)化為普通方程是解決本題的關(guān)鍵．