Question

【題目】設函數(shù)，其中．

（1）當時，恒成立，求的取值范圍；

（2）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或．（2）當時，函數(shù)有一個極值點；

當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點．

【解析】

試題分析：（1）先化簡不等式：，再確定其對于恒成立，而函數(shù)是關于的一次函數(shù)，因此其等價于解一元二次不等式組得的取值范圍；（2）因為，所以先確定導函數(shù)零點個數(shù)：分兩類：一類導函數(shù)符號不變，即當時，或時，第二類：導函數(shù)符號有變化：且時，或時，再確定零點個數(shù)，極值點個數(shù)

試題解析：（1），，

令，要使，則使即可，而是關于的一次函數(shù)，

∴解得或．

所以的取值范圍是或．

（2）令，，

當時，，此時，函數(shù)在上遞增，無極值點；

當時，．

①當時，，，函數(shù)在上遞增，無極值點；

②當時，，設方程的兩個根為，（不妨設），

因為，所以，，由，∴，

所以當，，函數(shù)遞增；

當，，函數(shù)遞減；

當，，函數(shù)遞增；因此函數(shù)有兩個極值點．

當時，，由，可得，

所以當，，函數(shù)遞增；

當時，，函數(shù)遞減；因此函數(shù)有一個極值點．

綜上，當時，函數(shù)有一個極值點；

當時，函數(shù)無極值點；

當時，函數(shù)有兩個極值點．