Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=

1

3

，a_n+1=a_n²+a_n，用[x]表示不超過x的最大整數，則[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

]的值等于（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：數列{a_n}是增數列，且

1

an

＞0，

1

an+1

=

1

an(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

，從而

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

=

1

a1

-

1

a2011

＜

1

a1

=3，由此能求出[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

]=2．

解答： 解：∵數列{a_n}滿足：a₁=

1

3

，a_n+1=a_n²+a_n，
∴an+1-an=an2＞0，
∴數列{a_n}是增數列，且

1

an

＞0，
∵a_n+1=a_n²+a_n=a_n（1+a_n），
∴

1

an+1

=

1

an(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

，

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a2010

-

1

a2011

=

1

a1

-

1

a2011

＜

1

a1

=3，
a1=

1

3

，a2=

1

9

+

1

3

=

4

9

，a3=

16

81

+

4

9

=

52

91

，

1

a1+1

+

1

a2+1

=

75

52

＞1，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

∈（1，3），
∴[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

]=2．
故選：B．

點評：本題考查等差數列的前n項和的求法及應用，是中檔題，解題時要注意裂項求和法的合理運用．