Question

15．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²+2ax+7在（-∞，2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x₁，x₂∈[a+1，1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤21，則實(shí)數(shù)a的最大值與最小值之和是（　　）

• A． -4
• B． -5
• C． -6
• D． -7

Answer 1

分析 求得二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，由對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，可得a≤-2，在區(qū)間[a+1，1]遞減，求得最值，作差，可得2a+3a²≤21，解不等式可得a的最值，進(jìn)而得到所求和．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=x²+2ax+7的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=-a，
函數(shù)f（x）=x²+2ax+7在區(qū)間（-∞，2]上單調(diào)遞減，
即有-a≥2，即a≤-2，
故在區(qū)間[a+1，1]遞減，
故要使對(duì)任意的x₁，x₂∈[a+1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤21，
只要f（a+1）-f（1）≤21，
即2a+3a²≤21，求得-3≤a≤$\frac{7}{3}$，
再結(jié)合a≤-2，可得-3≤a≤-2．
即有a的最小值和最大值的和為-3-2=-5．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．