Question

7．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）又f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＞0時f（x）＜0，f（2）=-1．
（1）求證：f（x）是在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)；
（2）解不等式f（x²）-f（3x）≥1．

Answer 1

分析 （1）可設x₁=x₂=0，可得f（0）=0，令x₁+x₂=0，即可判斷f（x）的奇偶性；再令令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，再由單調(diào)性的定義，即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）運用奇函數(shù)的定義，可得f（-2）=1，f（x²）-f（3x）≥1，即為f（x²）≥f（3x）+f（-2）=f（3x-2），再由單調(diào)性的定義，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（1）證明：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
設x₁=x₂=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，
令x₁+x₂=0，可得f（0）=f（x₁）+f（x₂），
即有f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)；
令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，
即為f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁），
即有f（x）在R上為減函數(shù)；
（2）由f（2）=-1，可得f（-2）=1，
f（x²）-f（3x）≥1，即為
f（x²）≥f（3x）+f（-2）=f（3x-2），
由f（x）為R上的減函數(shù)，可得x²≤3x-2，
解得1≤x≤2，
則解集為[1，2]．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的證明和運用，注意運用定義法，考查二次不等式的解法，屬于中檔題．