Question

【題目】．

（1）證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使得直線和曲線相切；

（2）若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)切點(diǎn)既在切線上也在曲線上，聯(lián)立方程組可得．再利用導(dǎo)數(shù)研究 單調(diào)性，并根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)唯一性，即得證結(jié)論，(2)先化簡不等式為，再分析函數(shù)單調(diào)性及其值域，結(jié)合圖形確定討論a的取法，根據(jù)整數(shù)解個(gè)數(shù)確定a滿足條件，解得的范圍．

試題解析：

（1）設(shè)切點(diǎn)為，則 ①，

和相切，則 ②，

所以，

即．令，所以單增．又因?yàn)?/span>，所以，存在唯一實(shí)數(shù)，使得，且．所以只存在唯一實(shí)數(shù)，使①②成立，即存在唯一實(shí)數(shù)使得和相切．

（2）令，即，所以，

令，則，由（1）可知，在上單減，在單增，且，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)橐�求整�?shù)解，所以在時(shí)，，所以有無窮多整數(shù)解，舍去；

當(dāng)時(shí)，，又，所以兩個(gè)整數(shù)解為0，1，即，

所以，即，

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>在內(nèi)大于或等于1，

所以無整數(shù)解，舍去，綜上，．