【題目】如圖四棱錐中， 平面，底面是梯形， ， ， ， ， ， 為的中點(diǎn)， 為上一點(diǎn)，且（）．

（1）若時(shí)，求證： 平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求異面直線與直線所成角的余弦值．

【答案】(1)見解析；（2）直線與直線所成角的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）第一問，要證明平面，只需要證明，只需要證明四邊形是平行四邊形. (2)第二問，一般利用向量的方法解答.先根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為求出，再異面直線所成的角的公式求出直線與直線所成角的余弦值為．

試題解析：（1）證明：若時(shí)， ，在上取，

連接， ，∵， ， ，

∴，且，

∵為的中點(diǎn)， ，∴，

又∵，∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

又∵平面， 平面，

∴平面．

（2）如圖所示，

過點(diǎn)作于，則，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

∴點(diǎn)， ， ， ， ， ， ， ，

，

設(shè)平面的法向量為，則即令，則， ，

∴，

設(shè)直線與平面所成的角為，則

，

解得，則， ， ，

設(shè)直線與直線所成角為，

則，

所以直線與直線所成角的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線的普通方程和曲線的極坐標(biāo)方程；

(2)若射線與曲線，分別交于兩點(diǎn)，求.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】．

（1）證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使得直線和曲線相切；

（2）若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，是平行四邊形，，， ，，，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線y=x+b與函數(shù)f(x)=ln x的圖象交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,其橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且x1<x2.

(1)求b的取值范圍;

(2)當(dāng)x2≥2時(shí),證明x1·<2.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知四邊形內(nèi)接于橢圓.記直線的斜率分別為，試問是否為定值？證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【2018湖北七市（州）教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓： 的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與直線垂直，垂足為點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．

（I）求橢圓的方程；

（II）如圖，若直線： 與橢圓交于， 兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．

【答案】（I）；（II）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可得， 故斜率為，由直線與直線垂直，可得，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

代入直線得，連立方程即可得， ；（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，設(shè)， ， ，∴ ，得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，

點(diǎn)到直線的距離為，利用弦長公式得EF，則平行四邊形的面積為

.

解析：（1）由題意知，橢圓的左頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，直線的斜率，

得，

因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

由點(diǎn)在直線上，∴，且，

解得， ，

∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)， ， ，

將代入消去并整理得 ，

則， ，

，

∵四邊形為平行四邊形，∴ ，

得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，

點(diǎn)到直線的距離為， ，

∴平行四邊形的面積為

.

故平行四邊形的面積為定值.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)， ，且.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的直角坐標(biāo)方程是（為參數(shù)）．

（Ⅰ）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；

（Ⅱ）求曲線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)， ，且，求證： ．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案