【題目】已知圓錐曲線 E: .
(I)求曲線 E的離心率及標準方程;
(II)設 M(x0 , y0)是曲線 E上的任意一點,過原點作⊙M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=8的兩條切線,分別交曲線 E于點 P、Q.
①若直線OP,OQ的斜率存在分別為k1 , k2 , 求證:k1k2=﹣ ;
②試問OP2+OQ2是否為定值.若是求出這個定值,若不是請說明理由.
【答案】解:(I)由橢圓定義可知,曲線E是以 和 為焦點,長軸長為 的橢圓,
設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為a、b、c.
∴ , ,則 ,
∴橢圓的離心率 ,E的標準方程為 .
(II)①證明:若過原點與⊙M相切的直線斜率存在設為k,
則切線方程為y=kx,∴ ,
整理得 .
由題設可知k1 , k2是以上關于k的一元二次方程的兩個實根,
∴ ,即 .
②設 P(x1 , y1),Q(x2 , y2).
當直線 O P,OQ的斜率存在時,
由①易得 , ,
而 = = = =
當直線 O P或 OQ的斜率不存在時,圓 M與y軸相切,且圓 M也與x軸相切 P,Q是橢圓 E的兩個頂點,∴O P2+OQ2=a2+b2=36.
綜上所述:O P2+OQ2為定值36.
【解析】(I)由橢圓定義可知,曲線E是以 和 為焦點,長軸長為 的橢圓,即可得出.(II)①若過原點與⊙M相切的直線斜率存在設為k,則切線方程為y=kx,可得 ,整理得 .由題設可知k1 , k2是以上關于k的一元二次方程的兩個實根,利用根與系數(shù)的關系即可得出.②設 P(x1 , y1),Q(x2 , y2).當直線 O P,OQ的斜率存在時,由①易得 , ,利用兩點之間的距離、根與系數(shù)的關系即可得出.當直線 O P,OQ的斜率不存在時直接驗證即可得出.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的序號為______.
①周期函數(shù)都有最小正周期;②偶函數(shù)一定不存在反函數(shù);
③“是單調函數(shù)”是“存在反函數(shù)”的充分不必要條件;
④若原函數(shù)與反函數(shù)的圖像有偶數(shù)個交點,則可能都不在直線上;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是一塊地皮,其中, 是直線段,曲線段是拋物線的一部分,且點是該拋物線的頂點, 所在的直線是該拋物線的對稱軸.經測量, km, km, .現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個矩形來建造草坪,其中點在曲線段上,點, 在直線段上,點在直線段上,設km,矩形草坪的面積為km2.
(1)求,并寫出定義域;
(2)當為多少時,矩形草坪的面積最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若定義在上的函數(shù)滿足:對任意的,當時,都有,則稱是“非減函數(shù)”.
(1)若是“非減函數(shù)”,求的取值范圍;
(2)若為周期函數(shù),且為“非減函數(shù)”,證明是常值函數(shù);
(3)設恒大于零,是定義在R上、恒大于零的周期函數(shù),是的最大值。函數(shù)。證明:“是周期函數(shù)”的充要條件“是常值函數(shù)”.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某大學城校區(qū)與本部校區(qū)之間的駕車單程所需時間為,只與道路暢通狀況有關,對其容量為500的樣本進行統(tǒng)計,結果如下:
(分鐘) | 25 | 30 | 35 | 40 |
頻數(shù)(次) | 100 | 150 | 200 | 50 |
以這500次駕車單程所需時間的頻率代替某人1次駕車單程所需時間的概率.
(1)求的分布列與;
(2)某天有3位教師獨自駕車從大學城校區(qū)返回本部校區(qū),記表示這3位教師中駕車所用時間少于的人數(shù),求的分布列與;
(3)下周某天張老師將駕車從大學城校區(qū)出發(fā),前往本部校區(qū)做一個50分鐘的講座,結束后立即返回大學城校區(qū),求張老師從離開大學城校區(qū)到返回大學城校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=k3n﹣m,且a1=3,a3=27.
(I)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(II)若anbn=log3an+1 , 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】已知橢圓的離心率為,其中左焦點(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上,求m的值.
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【題目】已知橢圓C1: =1(a>b>0)的離心率為e= ,且過點(1, ).拋物線C2:x2=﹣2py(p>0)的焦點坐標為(0,﹣ ).
(Ⅰ)求橢圓C1和拋物線C2的方程;
(Ⅱ)若點M是直線l:2x﹣4y+3=0上的動點,過點M作拋物線C2的兩條切線,切點分別為A,B,直線AB交橢圓C1于P,Q兩點.
(i)求證直線AB過定點,并求出該定點坐標;
(ii)當△OPQ的面積取最大值時,求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)= (a∈R).
(1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),求a的取值范圍.
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