已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn),求證:A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m、n,使=m+n,且m+n=1.
A、B、C 三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條件是存在 實(shí)數(shù)λ,使得.很顯然,題設(shè)條件中向量表達(dá)式并未涉及、,對(duì)此,我們不妨利用=+來(lái)轉(zhuǎn)化,以便進(jìn)一步分析求證.
證明 充分性,由=m+n, m+n=1, 得
=m+n(
=(m+n)+n=+n,
=n
∴A、B、C三點(diǎn)共線.
必要性:由A、B、C 三點(diǎn)共線知,存在常數(shù)λ,使得,   
即   +=λ(+).
=(λ-1)+λ=(1-λ)+λ,
m=1-λ,n=λ,m+n=1,
=m+n
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知向量,.
(1)當(dāng)時(shí),求的值;
(2)求上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在△OAB的邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P,記= ,=,用 表示向量。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

判斷下列命題正確的有       
①向量是共線向量,則AB、CD四點(diǎn)必在一直線上;
②單位向量都相等;
③任一向量與它的相反向量不相等;
④四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是 
⑤模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件;
⑥共線的向量,若起點(diǎn)不同,則終點(diǎn)一定不同.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(1)如圖,平行四邊形ABCD中,M、N分別為DC、BC的中點(diǎn),已知
AM
=
c
AN
=
d
,試用
c
、
d
表示
AB
AD

(2)在△ABC中,若
AB
=
a
,
AC
=
b
若P,Q,S為線段BC的四等分點(diǎn),試證:
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知a=(),b=(),則( 。
A. abB. ab    C.(ab)⊥(ab)    
D. ab的夾角為.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

向量向量則實(shí)數(shù)k等于                      

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知是三角形的三個(gè)頂點(diǎn),,則△為(  )
A.等腰三角形B.等腰直角三角形
C.直角三角形D.既非等腰三角形又非直角三角形

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)A、B、C三點(diǎn)共線,且它們的縱坐標(biāo)分別為2,5,10,則A點(diǎn)分所得的比為(   )
A.                 B.                C.                 D. -

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