Question

18．已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，a₃，a₅是方程x²-8x+15=0的兩根．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，由a₃，a₅是方程x²-8x+15=0的兩根．可得a₃=3，a₅=5．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，
∵a₃，a₅是方程x²-8x+15=0的兩根．∴a₃=3，a₅=5．
∴a₁+2d=3，a₁+4d=5，解得a₁=d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．