Question

19．（1）計(jì)算：$\frac{{A}_{9}^{5}{+A}_{9}^{4}}{{A}_{10}^{6}{-A}_{10}^{5}}$；
（2）證明：${A}_{n+1}^{m+1}$=${A}_{n}^{m}$+n²${A}_{n-1}^{m-1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)排列數(shù)公式，進(jìn)行計(jì)算與證明即可．

解答 解：（1）$\frac{{A}_{9}^{5}{+A}_{9}^{4}}{{A}_{10}^{6}{-A}_{10}^{5}}$=$\frac{9×8×7×6×5+9×8×7×6}{10×9×8×7×6×5-10×9×8×7×6}$
=$\frac{5+1}{10×5-10}$
=$\frac{3}{20}$；
（2）證明：∵${A}_{n+1}^{m+1}$=$\frac{（n+1）!}{[（n+1）-（m+1）]!}$=$\frac{（n+1）!}{（n-m）!}$，
${A}_{n}^{m}$+n²${A}_{n-1}^{m-1}$=$\frac{n!}{（n-m）!}$+n²•$\frac{（n-1）!}{[（n-1）-（m-1）]!}$
=$\frac{n!}{（n-m）!}$+$\frac{n•n!}{（n-m）!}$
=$\frac{（n+1）!}{（n-m）!}$，
∴${A}_{n+1}^{m+1}$=${A}_{n}^{m}$+n²${A}_{n-1}^{m-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了排列數(shù)公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了計(jì)算與推論能力，是基礎(chǔ)題目．