Question

11．設(shè)動點M到坐標原點O的距離和它到直線的l：x=-m（m＞0）距離之比是一個常數(shù)λ，記點的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程，并討論C的形狀與λ值的關(guān)系；
（2）若λ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，m=1時，得到的曲線為C₁，將曲線C₁向左平移一個單位得到曲線E，過點P（-2，0）的直線l₁與曲線E交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過F（1，0）的直線AF，BF分別交曲線E于D，Q，設(shè)$\overrightarrow{AF}=α\overrightarrow{FD}，\overrightarrow{BF}=β\overrightarrow{FQ}$，α，β∈R，求α+β的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），由題設(shè)有：$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=λ|{x+m}|$，故曲線C的方程為：（1-λ²）x²+y²-2mλ²x-m²λ²=0，分類討論，即可得出結(jié)論；
（2）分類討論，確定α=3-2x₁，β=3-2x₂⇒α+β=6-2（x₁+x₂），設(shè)l₁：y=k（x+2），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y整理得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，利用韋達定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），由題設(shè)有：$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=λ|{x+m}|$
故曲線C的方程為：（1-λ²）x²+y²-2mλ²x-m²λ²=0
（i）λ=1時，曲線C的方程為：y²=2m（x+m）是拋物線；
（ii）λ≠1時，曲線C的方程為：$\frac{{{{（x-\frac{{m{λ^2}}}{{1-{λ^2}}}）}^2}}}{{\frac{{{m^2}{λ^2}}}{{{{（1-{λ^2}）}^2}}}}}+\frac{y^2}{{\frac{{{m^2}{λ^2}}}{{1-{λ^2}}}}}=1$λ＞1時，曲線C的方程為焦點在x軸上的雙曲線； 0＜λ＜1時，曲線C的方程為焦點在x軸上的橢圓；
（2）當$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，m=1$時，曲線C₁的方程為：$\frac{{{{（x-1）}^2}}}{2}+{y^2}=1$，則曲線E的方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
設(shè)D（x₃，y₃），則$\overrightarrow{AF}=（1-{x_1}，-{y_1}），\overrightarrow{FD}=（{x_3}-1，{y_3}）$，由$\overrightarrow{AF}=α\overrightarrow{FD}$，得-y₁=αy₃，則$α=-\frac{y_1}{y_3}$，
（i）AD與x軸不垂直時，AD方程為：$y=\frac{y_1}{{{x_1}-1}}（x-1）$由 $\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{y_1}{{{x_1}-1}}（x-1）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去x，整理得：$（3-2{x_1}）{y^2}+2{y_1}（{x_1}-1）y-y_1^2=0$．
由根與系數(shù)的關(guān)系有：${y_1}{y_3}=-\frac{y_1^2}{{3-2{x_1}}}⇒-\frac{y_1}{y_3}=3-2{x_1}⇒α=3-2{x_1}$；
（ii）AD與x軸垂直時，x₁=1，α=1也滿足：α=3-2x₁，
同理可證：β=3-2x₂⇒α+β=6-2（x₁+x₂）
設(shè)l₁：y=k（x+2），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y整理得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，
據(jù)題設(shè)有k≠0且△=（8k²）-²4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴0＜k²＜$\frac{1}{2}$，${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{2{k^2}+1}}⇒α+β=6+\frac{{16{k^2}}}{{2{k^2}+1}}=14-\frac{8}{{2{k^2}+1}}$，$0＜{k^2}＜\frac{1}{2}⇒1＜2{k^2}+1＜2$，
∴α+β∈（6，10），故α+β的取值范圍為（6，10）．

點評 本題考查曲線與方程，考查直線與橢圓位置關(guān)系的運用，考查韋達定理，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．