Question

8．已知直線l：$\sqrt{3}$x-y+6=0與圓x²+y²=12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線，兩條垂線分別與y軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|=（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，聯(lián)立直線方程和圓的方程，利用弦長(zhǎng)公式求出|AB|，再求解直角三角形得答案．

解答 解：如圖，

過(guò)D作DG⊥AC，垂足為G，則AB=DG．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y+6=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得${x}^{2}+3\sqrt{3}x+6=0$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-3\sqrt{3}$，x₁x₂=6．
∴|AB|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{（-3\sqrt{3}）^{2}-24}=2\sqrt{3}$．
∴|DG|=2$\sqrt{3}$．
則|CD|=$\frac{|DG|}{cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．