Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）在曲線C上求一點(diǎn)D，使它到直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的距離最短，并求出最短距離．

Answer 1

分析 （1）把已知極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以ρ，結(jié)合ρ=x²+y²，y=ρsinθ得答案；
（2）化直線的參數(shù)方程為普通方程，化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得答案．

解答 解：（1）由ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²-2y=0；
（2）由直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$，得$\sqrt{3}$x+y-5=0．
化圓x²+y²-2y=0為x²+（y-1）²=1，
則圓心坐標(biāo)為（0，1），
圓心到直線$\sqrt{3}$x+y-5=0的距離為d=$\frac{|1-5|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=2．
∴D到直線的最短距離為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．