Question

8．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為其直徑，CH⊥AB于H延長后交⊙O于D，連接DB并延長交過C點(diǎn)的直線于P，且CB平分∠DCP．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AC=4，BC=3，求$\frac{PC}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，證明∠CAB=∠DCB，且∠CAO=∠ACO，利用CB平分∠DCP，∠DCB=∠PCB，可得OC⊥CP，即可證明PC是⊙O的切線；
（2）證明△PCD～△PBC，利用相似比，可求$\frac{PC}{PB}$的值．

解答 （1）證明：連接OC，
由已知AB為⊙O的直徑，CH⊥AB，則∠CAB=∠DCB，且∠CAO=∠ACO…（2分）
又CB平分∠DCP，∠DCB=∠PCB，因而$∠PCB+∠OCB=∠ACO+∠OCB=\frac{π}{2}$，
即OC⊥CP，所以PC是⊙O的切線…（5分）
（2）解：AC=4，BC=3，則AB=5，CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，CD=$\frac{24}{5}$，BD=BC=3，
因?yàn)镻C是⊙O的切線，所以∠PCB=∠PDC，
所以△PCD～△PBC，…（8分）
所以$\frac{PC}{PB}=\frac{PD}{PC}=\frac{CD}{BC}=\frac{8}{5}$，…（10分）

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的證明，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．