Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx+c（a＞0）為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的線與直線x-6y-7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為-12．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)奇函數(shù)求出c的值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'（x）的最小值求出b的值，最后依據(jù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率求出c的值即可；
（2）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得區(qū)間即為單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值．

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，
∴c=0，
∵f'（x）=3ax²+b的最小值為-12，
∴b=-12，
又直線x-6y-7=0的斜率為$\frac{1}{6}$，
因此，f'（1）=3a+b=-6，
∴a=2，b=-12，c=0．
（2）f（x）=2x³-12x．f′（x）=6x2-12=6（x+$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$），
列表如下：

x	（-∞，-$\sqrt{2}$）	-$\sqrt{2}$	（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）	$\sqrt{2}$	（$\sqrt{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞），
∵f（-1）=10，f（$\sqrt{2}$）=-8$\sqrt{2}$，f（3）=18，
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（$\sqrt{2}$）=-8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，以及推理能力和運(yùn)算能力．