Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{e^x}+{e^{-x}}+sinx}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$，其導函數(shù)記為f′（x），則f（2016）+f′（2016）+f（-2016）-f′（-2016）=（　　）

• A． 2016
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 先求導，設h（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，判斷h（x）與f′（x）的奇偶性，問題得以解決．

解答 解：f（x）=$\frac{{{e^x}+{e^{-x}}+sinx}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$=1+$\frac{sinx}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，
∴f′（x）=$\frac{cosx（{e}^{x}+{e}^{-x}）-sinx（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{（{e}^{x}+{e}^{-x}{）^{2}}_{\;}}$，
∵設h（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$
∴h（-x）=-h（x），
∵f′（-x）=f′（x），
∴f′（-x）為偶函數(shù)，
∴f（2016）+f′（2016）+f（-2016）-f′（-2016）=1+h（2016）+1+h（-2016）+f′（2016）-f′（-2016）=2，
故選：D．

點評 本題考查了導數(shù)的運算和函數(shù)的奇偶性，關鍵是判斷函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．