Question

18．已知f（x）的定義域為R，且f（x+2）=f（x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x²．設I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z．
（1）求f（x）在I_k上的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）=ax在I_k上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用2為周期，得2k也是周期，可得f（x）=f（x-2k）即可求出答案；
（2）轉化為一元二次方程在區(qū)間上恰有兩個不相等的實根，再求有兩個不相等的實根成立的條件即可．

解答 解：（1）∵f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)，則當k∈Z時，2k也是f（x）的周期．
∵當x∈[-1，1]時，f（x）=x²，
且I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z，
∴當x∈I_k時（x-2k）∈[-1，1]，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²，
即對I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z時，f（x）=（x-2k）²．
（2）當k∈Z且x∈I_k時，利用（1）的結論可得方程（x-2k）²=ax，
整理得：x²-（4k+a）x+4k²=0，
它的判別式是△=（4k+a）²-16k²=a（a+8k）．
上述方程在區(qū)間I_k上恰有兩個不相等的實數(shù)根的充要條件是
a滿足$\left\{\begin{array}{l}{a（a+8k）＞0}\\{2k-1＜\frac{1}{2}[4k+a-\sqrt{a（a+8k）}]}\\{2k+1≥\frac{1}{2}[4k+a+\sqrt{a（a+8k）}]}\end{array}\right.$
①當a＞0時，$\sqrt{a（a+8k）}$≤2-a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a（a+8k）≤（2-a）^{2}}\\{2-a＞0}\end{array}\right.$；
②當a＜-8k時，a+2＜2-8k＜0易知$\sqrt{a（a+8k）}$＜2+a無解，
綜合以上，得0＜a≤$\frac{1}{2k+1}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的周期性，借助函數(shù)的周期性對函數(shù)解析式的求法和根的存在性，根的個數(shù)的判斷的綜合考查，屬于難題．