Question

18．已知f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²．設(shè)I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z．
（1）求f（x）在I_k上的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=ax在I_k上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用2為周期，得2k也是周期，可得f（x）=f（x-2k）即可求出答案；
（2）轉(zhuǎn)化為一元二次方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，再求有兩個(gè)不相等的實(shí)根成立的條件即可．

解答 解：（1）∵f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)，則當(dāng)k∈Z時(shí)，2k也是f（x）的周期．
∵當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²，
且I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z，
∴當(dāng)x∈I_k時(shí)（x-2k）∈[-1，1]，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²，
即對(duì)I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z時(shí)，f（x）=（x-2k）²．
（2）當(dāng)k∈Z且x∈I_k時(shí)，利用（1）的結(jié)論可得方程（x-2k）²=ax，
整理得：x²-（4k+a）x+4k²=0，
它的判別式是△=（4k+a）²-16k²=a（a+8k）．
上述方程在區(qū)間I_k上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是
a滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{a（a+8k）＞0}\\{2k-1＜\frac{1}{2}[4k+a-\sqrt{a（a+8k）}]}\\{2k+1≥\frac{1}{2}[4k+a+\sqrt{a（a+8k）}]}\end{array}\right.$
①當(dāng)a＞0時(shí)，$\sqrt{a（a+8k）}$≤2-a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a（a+8k）≤（2-a）^{2}}\\{2-a＞0}\end{array}\right.$；
②當(dāng)a＜-8k時(shí)，a+2＜2-8k＜0易知$\sqrt{a（a+8k）}$＜2+a無(wú)解，
綜合以上，得0＜a≤$\frac{1}{2k+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的周期性，借助函數(shù)的周期性對(duì)函數(shù)解析式的求法和根的存在性，根的個(gè)數(shù)的判斷的綜合考查，屬于難題．