Question

3．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin²B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=$\frac{1}{4}$，則$\frac{a}{c}$=（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理將sin²B=2sinAsinC，轉(zhuǎn)換成b²=2ac，根據(jù)余弦定理化簡得：${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{5}{2}ac=0$，同除以c²，設(shè)c²=t，解得t的值，根據(jù)條件判斷$\frac{a}{c}$的值．

解答 解：三角形ABC中，sin²B=2sinAsinC，由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
得：b²=2ac，
由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，
即：${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{5}{2}ac=0$，等號兩端同除以c²，
得：$（\frac{a}{c}）^{2}-\frac{5}{2}•\frac{a}{c}+1=0$，令$\frac{a}{c}$=t，
∴2t²-5t+2=0，
解得：t=2，t=$\frac{1}{2}$，
a＞c，
∴t=2，則$\frac{a}{c}$=2，
故答案選：A．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理、余弦定理與一元二次方程相結(jié)合，計(jì)算過程簡單，屬于中檔題．