Question

20．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=6，點E、F分別在棱BB₁、CC₁上，且BE=$\frac{1}{3}$BB₁，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁．
（1）求平面AEF與平面ABC所成角α的余弦值；
（2）若G為BC的中點，A₁G與平面AEF交于H，且設$\overrightarrow{{A}_{1}H}$=$λ\overrightarrow{{A}_{1}G}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．
（2）利用四點共面，$\overrightarrow{AH}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$，建立方程關系進行求解即可．

解答 解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=6，點E、F分別在棱BB₁、CC₁上，且BE=$\frac{1}{3}$BB₁，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁．
∴建立以A為坐標原點，AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
則A（0，0，0），A₁（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，2，4），
則$\overrightarrow{AE}$=（2，0，2），$\overrightarrow{AF}$=（0，2，4）
設平面AEF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=2y+4z=0}\end{array}\right.$
令z=1．則x=-1，y=-2，
即$\overrightarrow{m}$=（-1，-2，1），
平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$
即平面AEF與平面ABC所成角α的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（2）若G為BC的中點，A₁G與平面AEF交于H，
則G（1，1，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}H}$=$λ\overrightarrow{{A}_{1}G}$，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}H}$=$λ\overrightarrow{{A}_{1}G}$=λ（1，1，-6）=（λ，λ，-6λ），
$\overrightarrow{AH}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}H}$=（λ，λ，6-6λ）
∵A，E，F(xiàn)，H四點共面，
∴設$\overrightarrow{AH}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$，
即（λ，λ，6-6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），
則$\left\{\begin{array}{l}{2x=λ}\\{2y=λ}\\{2x+4y=6-6λ}\end{array}\right.$，得λ=$\frac{2}{3}$，x=y=$\frac{1}{3}$，
故λ的值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查四點共面以及二面角的求解，建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解，綜合性較強，運算量較大．