Question

如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=，AD=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．

(I)求三棱錐E—PAD的體積；
(II)試問當(dāng)點(diǎn)E在BC的何處時(shí)，有EF//平面PAC；
(1lI)證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PEAF．

Answer 1

見解析

試題分析：（Ⅰ）注意到PA平面ABCD，得知的長即為三棱錐的高，而三棱錐的體積等于的體積，計(jì)算即得.
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面平行．
利用三角形中位線定理，得到，進(jìn)一步得出∥平面．
（Ⅲ）證明：根據(jù)等腰三角形得出，根據(jù)平面，平面，
得到 ，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032533314527.png" style="vertical-align:middle;" /> 且，?平面，得到平面，又平面，．
再根據(jù)，平面，及平面，根據(jù)，作出結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）由已知PA平面ABCD，所以的長即為三棱錐的高，三棱錐的體積等于的體積
= = ．
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面平行．
∵在中，分別為的中點(diǎn)，連結(jié)
，又平面，而平面，
∴∥平面．
（Ⅲ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032533860289.png" style="vertical-align:middle;" />，所以等腰三角形中，
∵平面，平面，
∴ 
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032533314527.png" style="vertical-align:middle;" /> 且，?平面，
∴平面，又平面，
∴．
又∵，
∴平面．PB，BE?平面PBE，
∵平面，
∴，即無論點(diǎn)E在邊的何處，都有．