Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}滿足S₇=77，且a₁，a₃，a₁₁成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=2 an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，
再代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡即可；
（2）由（1）和題意求出b_n，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷出數(shù)列{b_n}是以4為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡即可．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
因?yàn)镾₇=

7(a1+a7)

2

=77，所以7a₄=77，則a₁+3d=11，①
因?yàn)閍₁，a₃，a₁₁成等比數(shù)列，所以a

2 3

=a₁a₁₁，整理得2d²=3a₁d，
又d≠0，所以2d=3a₁．②
聯(lián)立①②，解得a₁=2，d=3．
所以a_n=3n-1．

（2）因?yàn)閎_n=2 an，所以b_n=2^3n-1=

1

2

•8ⁿ，
所以數(shù)列{b_n}是以4為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，T_n=

4(1-8n)

1-8

=

23n+2-4

7

．

點(diǎn)評：本題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．