Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+…+a_n=n²
（1）在數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）求數(shù)列{

4

an•an+1•an+2

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）構(gòu)造數(shù)列，利用作差法即可在數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）∵a₁+a₂+…+a_n=n²，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²，
兩式相減得a_n=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，滿足a_n=2n-1，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1；
（2）

an

2n

=

2n-1

2n

，
則前n項(xiàng)和S_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，
則

1

2

S_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

，
兩式相減得

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2[

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

]-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2×

1 22 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+1-（

1

2

）^n-1-

2n-1

2n+1

，
則S_n=3-（

1

2

）^n-2-

2n-1

2n

（3）

4

an•an+1•an+2

=

4

(2n-1)(2n+1)•(2n+3)

=

1

(2n-1)(2n+1)

-

1

(2n+1)(2n+3)

，
則數(shù)列{

4

an•an+1•an+2

}的前n項(xiàng)和T_n=

1

1×3

-

1

3×5

+

1

3×5

-

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

-

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

3

-

1

(2n+1)(2n+3)

．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，要求數(shù)列掌握錯(cuò)位相減法以及裂項(xiàng)求和法．