Question

如圖，已知點H在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線B₁D₁上，∠HDA=60°．
（Ⅰ）求DH與CC₁所成角的大�。�
（Ⅱ）求DH與平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，設(shè)H（m，m，1）（m＞0），求出

CC1

、

DH

，利用向量的夾角公式可求DH與CC′所成角的大��；
（Ⅱ）求出平面A₁BD的法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）建立如圖所示的坐標系，設(shè)H（m，m，1）（m＞0），
則

DA

=（1，0，0），

CC1

=（0，0，1），連接BD，B₁D₁．
則

DH

=（m，m，1）（m＞0），
由已知＜

DA

，

DH

＞=60°，∴可得2m=

2m2+1

，解得m=

2

2

，
∴

DH

=（

2

2

，

2

2

，1），
∴cos＜

DA

，

CC1

＞=

2

2

，
∴＜

DA

，

CC1

＞=45°，即DH與CC′所成角的大小為45°；
（Ⅱ）設(shè)平面A₁BD的法向量為

n

=（x，y，z），則

x+z=0 x+y=0

令x=1得

n

=（1，-1，-1）是平面A₁BD的一個法向量．…（9分）
設(shè)DH與平面A₁BD所成的角為θ，
∴sinθ=cos＜

DH

，

n

＞=-

6

6

．…（12分

點評：本題考查向量知識的運用，考查空間角，正確運用向量的夾角公式是關(guān)鍵．