Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，角B所對(duì)的邊b=

3

，且函數(shù)f（x）=2

3

sin²x+2sinxcosx一

3

在x=A處取得最大值．
（1）求函數(shù)f（x）的值域及周期；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列求得B=

π

3

，A+C=

2π

3

．化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x-

π

3

），由正弦函數(shù)的定義域和值域可得函數(shù)
f（x）的值域?yàn)閇-2，2]，且最小正周期為

2π

2

．
（2）由于sin（2A-

π

3

）=1，可得 2A-

π

3

=

π

2

，A=

5π

12

，故C=

π

4

．再由正弦定理求得c=

2

，從而求得△ABC的面積為

1

2

bc•sinA 的值．

解答：解：（1）△ABC的邊b=

3

，它的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，再由三角形的內(nèi)角和公式求得B=

π

3

，A+C=

2π

3

．
又函數(shù)f（x）=2

3

sin²x+2sinxcosx一

3

=2

3

•

1-cos2x

2

+sin2x-

3

=-

3

cos2x+sin2x=sin（2x-

π

3

），
故有正弦函數(shù)的定義域和值域可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，2]，且最小正周期為

2π

2

=π．
（2）由于函數(shù)f（x）在x=A處取得最大值，故有sin（2A-

π

3

）=1，∴2A-

π

3

=

π

2

，A=

5π

12

，故C=

π

4

．
再由正弦定理可得

3

sin π 3

=

c

sin π 4

，求得c=

2

，∴△ABC的面積為

1

2

bc•sinA=

1

2

×

3

×

2

×sin（

π

4

+

π

6

）
=

6

2

（

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

）=

3+ 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的定義域和值域、三角函數(shù)的周期性及求法，屬于中檔題．