Question

在12個(gè)同類(lèi)型的零件中有2個(gè)次品，抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次任取一個(gè)，
并且取出不再放回，若以ξ和η分別表示取出次品和正品的個(gè)數(shù)
（1）求ξ的分布列，期望值及方差；
（2）求η的分布列，期望值及方差．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列，期望值及方差．
（2）η的可能取值為1，2，3，且ξ+η=3，由此能求出η的分布列，期望值及方差．

解答： （本小題滿(mǎn)分14分）
解：（1）ξ的可能取值為0，1，2，…（1分）
P（ξ=0）=

C 0 2 A 3 10

A 3 12

=

6

11

，
P（ξ=1）=

( C 1 2 C 2 10 ) A 3 3

A 3 12

=

9

22

，
P（ξ=2）=

( C 2 2 C 1 10 ) A 3 3

A 3 12

=

1

22

，…（4分）
∴ξ的分布列為：…（6分）

ξ	0	1	2
P	6 11	9 22	1 22

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為：Eξ=0×

6

11

+1×

9

22

+2×

1

22

=

1

2

．
方差為：Dξ=(0-

1

2

)2×

6

11

+(1-

1

2

)2×

9

22

+(2-

1

2

)2×

1

22

=

15

44

．…（8分）
（2）η的可能取值為1，2，3，且ξ+η=3，
∴P（η=1）=P（ξ=2）=

1

22

，
P（η=2）=P（ξ=1）=

9

22

，
P（η=3）=P（ξ=0）=

6

11

，…（10分）
∴η的分布列為：…（12分）

η	1	2	3
P	1 22	9 22	6 11

∴Eη=E（3-ξ）=3-Eξ=3-

1

2

=

5

2

，
Dη=（-1）²•Dξ=

15

44

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．