Question

7．已知兩點(diǎn)A（0，-1），B（0，1），P（x，y）是曲線C上一動點(diǎn)，直線PA、PB斜率的平方差為1．
（1）求曲線C的方程；
（2）E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）是曲線C上不同的兩點(diǎn)，Q（2，3）是線段EF的中點(diǎn)，線段EF的垂直平分線交曲線C于G，H兩點(diǎn)，問E，F(xiàn)，G，H是否共圓？若共圓，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不共圓，說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用直線的斜率公式，化簡整理，即可得到所求軌跡方程；
（2）將E，F(xiàn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，相減結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得直線EF的斜率，即有直線EF的方程，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，再由線段EF的垂直平分線方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，求得G，H的中點(diǎn)，計(jì)算|ME|，|MG|，即可判斷四點(diǎn)共圓，求得圓的方程．

解答 解：（1）由題意可得k_PA²-k_PB²=1，
即有（$\frac{y+1}{x}$）²-（$\frac{y-1}{x}$）²=1，
化簡可得x²=4y，
即有曲線C的方程為x²=4y（x≠0）；
（2）由題意可得x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，
兩式相減可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
由x₁+x₂=4，可得k_EF=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
可設(shè)直線EF的方程為y-3=x-2，即y=x+1，
代入拋物線的方程，可得x²-4x-4=0，
可得x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
|EF|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{16+16}$=8，
由線段EF的垂直平分線方程：y-3=-（x-2），即y=5-x，
代入拋物線的方程，可得x²+4x-20=0，
可得GH的中點(diǎn)為M（-2，7），|GH|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{16+80}$=8$\sqrt{3}$，
由垂直平分線的性質(zhì)可得|ME|=|MF|，
|MQ|=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，可得|ME|=$\sqrt{16+32}$=4$\sqrt{3}$，
且|MG|=|MH|=4$\sqrt{3}$，
即有四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共圓，圓心為M（-2，7），
半徑為4$\sqrt{3}$，方程為（x+2）²+（y-7）²=48．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用斜率公式，考查四點(diǎn)共圓的方法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．