Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的右焦點為F，P是橢圓上一點，點$A（{0，2\sqrt{3}}）$，當△APF的周長最大時，△APF的面積等于（　�。�

• A． $\frac{{11\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{21\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{11}{4}$
• D． $\frac{21}{4}$

Answer 1

分析 利用橢圓的定義，確定△APF周長最大時，P縱坐標，即可求出△APF周長最大時，該三角形的面積．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的a=3，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2，
由題意，設F′是左焦點，
則△APF周長=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF′|=4+6+|PA|-|PF′|
≤10+|AF′|（A，P，F(xiàn)′三點共線時，且P在AF′的延長線上，取等號），
直線AF′的方程為$\frac{x}{-2}$+$\frac{y}{2\sqrt{3}}$=1與橢圓5x²+9y²=45，
聯(lián)立可得32y²-20$\sqrt{3}$y-75=0，
解得P的縱坐標為-$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
則△APF周長最大時，
該三角形的面積為$\frac{1}{2}$|FF′|•|y_A-y_P|
=2•|2$\sqrt{3}$+$\frac{5\sqrt{3}}{8}$|=$\frac{21\sqrt{3}}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的定義，以及三點共線時取得最值，同時考查三角形面積的計算，確定P的坐標是關鍵．