Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸為B₁B₂，四邊形F₁B₁F₂B₂是邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的正方形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)$P（0，-\frac{1}{3}）$且斜率為k的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，證明：無論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)D（0，1）．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的性質(zhì)，求出b=c，推出a，即可求解橢圓的方程．
（2）求出過點(diǎn)$P（0，-\frac{1}{3}）$且斜率為k的直線的方程，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y+\frac{1}{3}=kx\end{array}\right.$，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），通過韋達(dá)定理結(jié)合$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}={x_1}{x_2}+（1-{y_1}）（1-{y_2}）$，推出$\overrightarrow{DA}⊥\overrightarrow{DB}$，∠ADB=90°，得到以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)D（0，1）．

解答 解：（1）依題意，b=c，$\sqrt{{b^2}+{c^2}}=a=\sqrt{2}$…（2分），b=1…（3分）
橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（4分）
（2）證明：過點(diǎn)$P（0，-\frac{1}{3}）$且斜率為k的直線的方程為$y+\frac{1}{3}=kx$…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y+\frac{1}{3}=kx\end{array}\right.$得（18k²+9）x²-12kx-16=0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{12k}{{18{k^2}+9}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{16}{{18{k^2}+9}}$…（7分）
$\overrightarrow{DA}=（-{x_1}，1-{y_1}）$，
$\overrightarrow{DB}=（-{x_2}，1-{y_2}）$$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}={x_1}{x_2}+（1-{y_1}）（1-{y_2}）$…（8分）
=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}-\frac{4k}{3}（{x_1}+{x_2}）+\frac{16}{9}$…（9分）
=$-\frac{{16（{k^2}+1）}}{{18{k^2}+9}}-\frac{4k}{3}×\frac{12k}{{18{k^2}+9}}+\frac{16}{9}=0$…（10分）
所以$\overrightarrow{DA}⊥\overrightarrow{DB}$，∠ADB=90°…（11分）
所以D在以AB為直徑的圓上，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)D（0，1）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．