Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）離心率為$\frac{1}{2}$，過橢圓上一點(diǎn)P分別作斜率為$\frac{a}，-\frac{a}$的兩條直線，這兩條直線與x軸分別交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，且|OM|²+|ON|²=8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PM，PN與橢圓C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為Q，R，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，求△PQR的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$⇒$\frac{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．設(shè)P（m，n），得M（m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，0），N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，0），由|OM|²+|ON|²=8．得$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$．即橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）不妨設(shè)P（1，$\frac{3}{2}$），直線PM：$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$．由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，且x≠1，可得Q（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．同理得R（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），即可得|QR|=$\sqrt{15}$，直線QR的方程為y=$\frac{1}{2}x$．點(diǎn)P到QR的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，于是△PQR的面積s=$\frac{1}{2}×\sqrt{15}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\sqrt{3}$

解答 解：（Ⅰ）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，⇒$\frac{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
設(shè)P（m，n），直線PM的方程：y-n=$\frac{\sqrt{3}}{2}（x-m）$，令y=0，得M（m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，0）
直線PN：y-n=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-m），令y=0，得N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，0），
∵|OM|²+|ON|²=8．∴（m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$）²+（m+$\frac{2\sqrt{3}}{3}n$）²=8，
化簡(jiǎn)得：$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）當(dāng)x=1時(shí)，y=±$\frac{3}{2}$，不妨設(shè)P（1，$\frac{3}{2}$）
直線PM：$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$．直線PN：$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，且x≠1，可得Q（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
同理得R（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴|QR|=$\sqrt{15}$，直線QR的方程為y=$\frac{1}{2}x$．
∴點(diǎn)P到QR的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
于是△PQR的面積s=$\frac{1}{2}×\sqrt{15}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程，橢圓與直線的位置關(guān)系，考查了運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．