Question

19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b=4，c=1，A=2B，則sinA=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{55}}}{8}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理和二倍角的正弦公式化簡得a=8cosB，利用余弦定理表示出cosB并化簡，求出a和cosB的值，由平方關(guān)系和B的范圍求出sinB，由正弦定理求出sinA的值．

解答 解：∵b=4，c=1，A=2B，
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，則$\frac{a}{sin2B}=\frac{4}{sinB}$，

即$\frac{a}{2sinBcosB}=\frac{4}{sinB}$，化簡得a=8cosB，
由余弦定理得，a=8•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
∴a²=4（a²-15），解得a=$2\sqrt{5}$，則cosB=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
由0＜B＜π得，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{11}}{4}$，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$得，sinA=$\frac{a•sinB}$=$\frac{2\sqrt{5}•\frac{\sqrt{11}}{4}}{4}$=$\frac{\sqrt{55}}{8}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理、余弦定理，二倍角的正弦公式等，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡、變形能力．