精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若方程存在兩個不同的實數根， ，證明： .

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）先求得函數的定義域為，由及對取值的討論可得當時， 在區(qū)間上單調遞增；當時， 在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.（2）設， ，可得， 。故原不等式可化為證，等價于。在此基礎上，令，轉化為證成立，構造函數，通過單調性可得不等式成立。

試題解析：

（1）函數的定義域為，

∵

∴.

①當時， ，故在區(qū)間上單調遞增.

②當時，

則當時， ， 上單調遞增；

當時， ， 上單調遞減。

綜上，當時， 在區(qū)間上單調遞增；

當時， 在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.

（2）由方程存在兩個不同的實數根， ，可設，

∵， ，

∴，

∴.

要證，只需證，等價于，

設，則上式轉化為，

設，

則，

∴在上單調遞增，

∴，

∴，

∴.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱中， 平面， ， 分別是棱的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求證： 平面.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標方程為，曲線的參數方程為，（ 為參數）.

（1）將兩曲線化成普通坐標方程；

（2）求兩曲線的公共弦長及公共弦所在的直線方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，其中常數.

（1）當時，求函數的極值；

（2）若函數有兩個零點，求證： ；

（3）求證： .

選做題：

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，短軸長為，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于， 兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）當直線的斜率為時，求的面積．

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得經， 為領邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸，焦距為2，且長軸長是短軸長的倍．

(Ⅰ)求橢圓E的標準方程；

(Ⅱ)設P(2，0)，過橢圓E左焦點F的直線l交E于A、B兩點，若對滿足條件的任意直線l，不等式 ≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的方程為（， 為常數）.

（1）判斷曲線的形狀；

（2）設曲線分別與軸， 軸交于點， （， 不同于原點），試判斷的面積是否為定值？并證明你的判斷；

（3）設直線： 與曲線交于不同的兩點， ，且，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線.

(1)若曲線C在點處的切線為，求實數和的值；

(2)對任意實數，曲線總在直線:的上方，求實數的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知中心在原點，焦點在 軸上的橢圓過點，離心率為， ， 是橢圓的長軸的兩個端點（位于右側），是橢圓在軸正半軸上的頂點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在經過點且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點和，使得向量與共線？如果存在，求出直線方程；如果不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案