已知,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn).
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為,.當(dāng)最大時(shí),求直線的方程.
(Ⅰ)圓的方程為;(Ⅱ)直線的方程是
解析試題分析:(Ⅰ)求圓的方程,圓的直徑為,它的圓心為的中點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),故本題先求出的長,從而得半徑,的中點(diǎn),只需求出它關(guān)于直線的對稱點(diǎn),求點(diǎn)關(guān)于線對稱的方法為:兩點(diǎn)連線垂直對稱軸,兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上,這樣求出圓心,從而可以寫出圓的方程;(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為,.當(dāng)最大時(shí),求直線的方程,這是直線與二次曲線的位置關(guān)系問題,可采用設(shè)而不求的方法來解,設(shè)直線方程為:,設(shè)直線與橢圓相交與點(diǎn)利用弦長公式求出的值,根據(jù)圓的性質(zhì)求出的值,從而得,可用基本不等式確定最大值時(shí)的的值,就得直線方程.
試題解析:(Ⅰ) 設(shè)圓和圓關(guān)于直線對稱,由題意知圓的直徑為所以圓心,半徑,圓心與圓心關(guān)于直線對稱,故圓的方程為;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), 設(shè)直線方程為:,圓心到直線的距離,由垂徑定理和勾股定理得:. 設(shè)直線與橢圓相交與點(diǎn) 由 得: 由韋達(dá)定理可得:依題意可知:
,令在 單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),取得最大值,此時(shí)直線的方程是,所以當(dāng)取得最大值時(shí),直線的方程是
考點(diǎn):橢圓的方程、圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直線l:+4-3m=0.
(1)求證:不論m為何實(shí)數(shù),直線l恒過一定點(diǎn)M;
(2)過定點(diǎn)M作一條直線l1,使夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點(diǎn)平分,求直線l1的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
根據(jù)下列條件,分別求直線方程:
(1)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)且與直線垂直;
(2)求經(jīng)過直線與的交點(diǎn),且平行于直線的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(理)已知⊙:和定點(diǎn),由⊙外一點(diǎn)向⊙引切線,切點(diǎn)為,且滿足.
(1)求實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系;
(2)求線段長的最小值;
(3)若以為圓心所作的⊙與⊙有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時(shí)的⊙方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
直線過點(diǎn)P(-2,1),
(1)若直線與直線平行,求直線的方程;
(2)若點(diǎn)A(-1,-2)到直線的距離為1,求直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A,B,C;
(1)求直線AB方程的一般式;
(2)證明△ABC為直角三角形;
(3)求△ABC外接圓方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直線l經(jīng)過A,B兩點(diǎn),且A(2,1), =(4,2).
(1)求直線l的方程;
(2)圓C的圓心在直線l上,并且與x軸相切于(2,0)點(diǎn),求圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn),且垂直于直線.
(1)求直線的方程;
(2)求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.
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