Question

18．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{25+a}{x}$+a（a∈R），若對于任意的x∈（0，+∞），f（x）≥-2恒成立，則a的取值范圍是[-4$\sqrt{6}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到2$\sqrt{25+a}$≥-a-2，通過討論-a-2的符號，求出a的范圍即可．

解答 解：若對于任意的x∈（0，+∞），f（x）≥-2恒成立，
顯然25+a＞0，即a＞-25，
∴f（x）≥2$\sqrt{25+a}$+a≥-2，
故2$\sqrt{25+a}$≥-a-2，
∴-a-2＜0，即a＞-2時，成立，
a≤-2時，只需${（2\sqrt{25+a}）}^{2}$≥（a+2）²，
解得：-4$\sqrt{6}$≤a≤-2，
綜上，a∈[-4$\sqrt{6}$，+∞），
故答案為：∈[-4$\sqrt{6}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．