Question

10．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n．點(diǎn)（a_n，S_n）在函數(shù)f（x）=2x-1圖象上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足：b_n=log₂a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$≥2恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關(guān)系與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：∵點(diǎn)（a_n，S_n）在函數(shù)f（x）=2x-1圖象上，∴S_n=2a_n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）．化為a_n=2a_n-1．
∴a_n=2^n-1．
∴b_n=log₂a_n+1=n．
（2）證明：c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
相減可得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$≥4-2=2．
∴T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$≥2恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．