Question

10．若函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在[-2，1]上的最大值為4，最小值為b，且函數(shù)g（x）=（2-7b）x是減函數(shù)，則a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)求其在[-2，1]的最值關(guān)系，g（x）=（2-7b）x是減函數(shù)，2-7b＜0，即可求解a的值．

解答 解：由題意：函數(shù)g（x）=（2-7b）x是減函數(shù)；
∴2-7b＜0，
解得：$b＞\frac{2}{7}$．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：
可知：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x在[-2，1]上是在增函數(shù)，
則有：a^-2=b，a=4，
解得：b=$\frac{1}{16}$，不滿足題意，故a≠4．
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x在[-2，1]上是在減函數(shù)，
則有：a^-2=4，a=b，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，滿足題意，故a=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，對(duì)底數(shù)的討論求最值問題．屬于基礎(chǔ)題．