Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2xf（x）+x²f′（x）＞0，則不等式（x-2014）²f（x-2014）-4f（2）＞0的解集為（　�。�

• A． （2012，+∞）
• B． （0，2012）
• C． （0，2016）
• D． （2016，+∞）

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系得到g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，由（x-2014）²f（x-2014）-4f（2）＞0得到g（x-2014）＞g（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案

解答 解：令g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x），
∵2f（x）+x²f′（x）＞0，
∴g′（x）＞0，在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
∵（x-2014）²f（x-2014）-4f（2）＞0，
∴（x-2014）²f（x-2014）＞4f（2），
∵g（2）=4f（2），
∴g（x-2014）＞g（2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2014＞2}\\{x-2014＞0}\end{array}\right.$，
解得x＞2016，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)的求法，而構(gòu)造函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．