Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx在x=-2與x=$\frac{1}{2}$處都取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，2]的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對函數(shù)求導，使得導函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即可，寫出函數(shù)的解析式．
（2）對函數(shù)求導，寫出函數(shù)的導函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導函數(shù)和函數(shù)的情況，做出極值，把極值同端點處的值進行比較得到結(jié)果．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx，
f′（x）=3x²+2ax+b        
由f′（-2）=12-4a+b=0，f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$+a+b=0   
得a=$\frac{9}{4}$，b=-3．
所以，所求的函數(shù)解析式為f（x）=x³+$\frac{9}{4}$x²+3x
（2）由（1）得f′（x）=3x²+$\frac{9}{2}$x-3=$\frac{3}{2}$（x+2）（2x-1），
列表

x	（-3，-2）	-2	（-2，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，2）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

且f（-3）=$\frac{9}{4}$，f（-2）=7，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{13}{16}$，f（2）=11，
所以當x∈[-3，2]時，
f（x）_max=f（2）=11，f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{13}{16}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是寫出函數(shù)的極值和函數(shù)在兩個端點處的值，把這些值進行比較，得到最大值和最小值．