Question

2．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于n=1，2，3，…，有a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{n}+5，{a}_{n}為奇數(shù)}\\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{k}}，{a}_{n}偶數(shù)}\end{array}\right.$，其中k為使a_n+1為奇數(shù)的正整數(shù)，當(dāng)a₁=11時(shí)，a₂₀₁₆=98；若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，則p的值為1或5．

Answer 1

分析 由題設(shè)分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔細(xì)觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}從第3項(xiàng)開(kāi)始是周期為6的周期數(shù)列，故a₂₀₁₆=a₆=98，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，知a_n=p，a_n+1=3p+5，a_n+2=$\frac{3p+5}{{2}^{k}}$，再由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，能求出p．

解答 解：由題設(shè)知，a₁=11，
a₂=3×11+5=38，
a₃=$\frac{38}{2}$=19，
a₄=3×19+5=62，
a₅=$\frac{62}{2}$=31，
a₆=3×31+5=98，
a₇=$\frac{98}{2}$49，
a₈=3×49+5=152，
a₉=$\frac{152}{{2}^{3}}$=19，
∴{a_n}從第3項(xiàng)開(kāi)始是周期為6的周期數(shù)列，
a₂₀₁₆=a₆=98，
若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，
則a_n=p，a_n+1=3p+5，a_n+2=$\frac{3p+5}{{2}^{k}}$，
∴（3-2^k）p=-5，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
∴當(dāng)k=2時(shí)，p=5，
當(dāng)k=3時(shí)，p=1．
故答案為：98，1或5．

點(diǎn)評(píng) 題考查數(shù)列的遞推公式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)分別求出a₁，a₂，a₃，…，a₈，a₉，仔細(xì)觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}從第3項(xiàng)開(kāi)始是周期為6的周期數(shù)列，借助數(shù)列的周期性進(jìn)行求解，屬于中檔題．