Question

2．設(shè)M是橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，且$∠{F_1}M{F_2}=\frac{π}{3}$，則△MF₁F₂的面積為（　�。�

• A． 3
• B． $16（2+\sqrt{3}）$
• C． $16（2-\sqrt{3}）$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可知a=5，c=4，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，m+n=10，則余弦定理即可求得|PF₁|•|PF₂|=12，根據(jù)三角形的面積公式即可求得△MF₁F₂的面積．

解答 解：∵橢圓方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，則a²=25，b²=9，可得c²=a²-b²=16，即a=5，c=4，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則有m+n=10，
∵∠F₁MF₂=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可知：64=m²+n²-2mncos$\frac{π}{3}$，∵（m+n）²=m²+n²+2mn，
∴mn=12，
∴|PF₁|•|PF₂|=12，
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin$\frac{π}{3}$，
=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積，著重考查了余弦定理、橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．