【題目】已知圓,直線過定點.
(1)點在圓上運動,求的最小值,并求出此時點的坐標(biāo).
(2)若與圓C相交于兩點,線段的中點為,又與的交點為,判斷是否為定值.若是,求出定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1),;(2)是定值,定值為6
【解析】
(1)根據(jù)可得的最小值,利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立可得的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與解得的坐標(biāo),聯(lián)立直線CM與得的坐標(biāo),再根據(jù)兩點間的距離公式得,化簡可得結(jié)果.
(1)因為,所以,
當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點時,取得等號,
因為直線的方程為:,
聯(lián)立,消去整理得,
解得或(舍),
所以,所以.
所以的最小值為,出此時點的坐標(biāo)為.
(2)因為直線與圓相交,斜率必定存在且不為0,
可設(shè)直線的方程為,
由,得,所以.
又直線CM與垂直,所以直線的方程為,
由,得,所以.
所以
為定值.
故是定值,且為6.
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【題目】設(shè)橢圓的左右焦點分別為F1,F2,點P 在橢圓上運動, 的最大值為m, 的最小值為n,且m≥2n,則該橢圓的離心率的取值范圍為________
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【題目】已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點,焦點在軸的正半軸上,過焦點作斜率為的直線交拋物線于兩點,且,其中為坐標(biāo)原點.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)點,直線分別交準(zhǔn)線于點,問:在軸的正半軸上是否存在定點,使,若存在,求出定點的坐標(biāo),若不存在,試說明理由.
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【題目】某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的年收益分別為0.125萬元和0.5萬元(如圖).
(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎么分配資金能使投資獲得最大年收益,其最大年收益是多少萬元?
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【題目】已知點為拋物線內(nèi)一定點,過作兩條直線交拋物線于,且分別是線段的中點.
(1)當(dāng)時,求△的面積的最小值;
(2)若且,證明:直線過定點,并求定點坐標(biāo)。
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【題目】已知矩形的兩條對角線相交于點,邊所在直線的方程為.點在邊所在直線上.求:
(1)邊所在直線的方程;
(2)邊所在直線的方程.
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【題目】如圖,在直三棱柱中,,,點為中點,連接交于點,點為中點.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求點到平面的距離.
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【題目】如圖所示,為平行四邊形ABCD所在平面外一點,M,N分別為AB,PC的中點,平面PAD平面PBC=.
(1)求證:BC∥;
(2)MN與平面PAD是否平行?試證明你的結(jié)論.
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【題目】已知函數(shù),為常數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,求證:.
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