Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）利用三角形的中位線性質(zhì)可得，然后再利用線面平行的判定定理即可證出.

（2）根據(jù)題意可證，，再利用線面垂直、面面垂直的判定定理即可證出.

（3）方法一：利用等體法即可求解；方法二：利用綜合法，作，垂足為，連接，作，垂足為，證出為點(diǎn)到平面的距離，在直角中，求解即可.

（1）直三棱柱，四邊形為平行四邊形

為的中點(diǎn) 為的中點(diǎn)，

又平面，平面，平面

（2）四邊形為平行四邊形，

平行四邊形為菱形，即

三棱柱為直三棱柱

平面

平面

，

，，平面

平面

平面，，

，，平面，

平面，

平面 ，

平面平面

（3）法一：(等體積法)連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為

平面，平面，

，為三棱錐高，

在直角中，，.

在直角中，，.

在直角中，，，.

在等腰中，，

，

，

點(diǎn)到平面的距離為

方法二：(綜合法)作，垂足為，連接，作，垂足為.

平面，平面

，，平面

平面

平面

，，平面，

平面， 即為點(diǎn)到平面的距離，

在直角中， ；在直角中， ，

點(diǎn)到平面的距離為.