Question

19．已知集合A={x|$\frac{2}{x-1}$＜1}，集合B={x|mx-1＞0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由$\frac{2}{x-1}$＜1，化為：$\frac{x-3}{x-1}$＞0，即（x-1）（x-3）＞0，可得：集合A={x|x＜1或x＞3}，對(duì)于集合B={x|mx-1＞0}，對(duì)m分類討論，利用A∪B=A即可得出．

解答 解：由$\frac{2}{x-1}$＜1，化為：$\frac{x-3}{x-1}$＞0，即（x-1）（x-3）＞0，解得x＞3，或x＜1．∴集合A={x|x＜1或x＞3}，
對(duì)于集合B={x|mx-1＞0}，當(dāng)m=0時(shí)，B=∅，滿足A∪B=A．
當(dāng)m＞0時(shí)，解得x$＞\frac{1}{m}$，∵A∪B=A，∴$\frac{1}{m}$≥3，解得0＜m≤$\frac{1}{3}$；
當(dāng)m＜0時(shí)，解得x$＜\frac{1}{m}$，∵A∪B=A，∴$\frac{1}{m}$≤1，解得m＜0．
綜上可得：m≤$\frac{1}{3}$．
故答案為：m≤$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、集合運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．