Question

16．某市在2015屆青少年科技創(chuàng)新大賽中評(píng)出一等獎(jiǎng)作品9個(gè)，其中社會(huì)科學(xué)類(lèi)3個(gè)，自然科學(xué)類(lèi)6個(gè)，這9個(gè)一等獎(jiǎng)中，市-中奪得3個(gè)，市五中奪得2個(gè)，其余4個(gè)被四所不同的農(nóng)村中學(xué)奪得．現(xiàn)從這9個(gè)一等獎(jiǎng)作品中隨機(jī)選取4個(gè)參加省級(jí)青少年科技創(chuàng)新大賽（每個(gè)作品披選到的可能性相同）
（I）求選出的4個(gè)作品來(lái)自互不相同的學(xué)校的概率；
（2）設(shè)選出的4個(gè)作品中，自然科學(xué)類(lèi)的有x個(gè)．社會(huì)科學(xué)類(lèi)的有y個(gè)，若X=x-y，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件總數(shù)n=${C}_{9}^{4}$=126，再求出選出的4個(gè)作品來(lái)自互不相同的學(xué)校，包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出選出的4個(gè)作品來(lái)自互不相同的學(xué)校的概率．
（2）設(shè)選出的4個(gè)作品中，自然科學(xué)類(lèi)的有x個(gè)．社會(huì)科學(xué)類(lèi)的有y個(gè)，X=x-y，則X的中能取值為-2，0，2，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）現(xiàn)從這9個(gè)一等獎(jiǎng)作品中隨機(jī)選取4個(gè)參加省級(jí)青少年科技創(chuàng)新大賽（每個(gè)作品披選到的可能性相同），
基本事件總數(shù)n=${C}_{9}^{4}$=126，
選出的4個(gè)作品來(lái)自互不相同的學(xué)校，包含的基本事件個(gè)數(shù)：${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}$=36，
∴選出的4個(gè)作品來(lái)自互不相同的學(xué)校的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{36}{126}$=$\frac{2}{7}$．
（2）設(shè)選出的4個(gè)作品中，自然科學(xué)類(lèi)的有x個(gè)．社會(huì)科學(xué)類(lèi)的有y個(gè)，X=x-y，
則X的中能取值為-2，0，2，4，
P（X=-2）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{6}{126}$，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{3×15}{126}$=$\frac{45}{126}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{3×20}{126}$=$\frac{60}{126}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{15}{126}$，
∴X的分布列為：

X	-2	0	2	4
P	$\frac{6}{126}$	$\frac{45}{126}$	$\frac{60}{126}$	$\frac{15}{126}$

EX=$-2×\frac{6}{126}+0×\frac{45}{126}+2×\frac{60}{126}+4×\frac{15}{126}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．