Question

17．甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺主辦的聽曲猜哥歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首．若有一人猜錯，則活動立即結(jié)束；若三人均猜對，則該小組進入下一輪．該小組最多參加三輪活動．已知每一輪甲猜對歌名的概率是$\frac{3}{4}$，乙猜對歌名的概率是$\frac{2}{3}$，丙猜對歌名的概率是$\frac{1}{2}$．甲、乙、丙猜對互不影響．
（1）求該小組未能進入第二輪的概率；
（2）記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“該小組未能進入第二輪”為事件A，其對立事件為$\overline{A}$，則P（A）=1-P$（\overline{A}）$，即可得出．
（2）利用相互獨立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)“該小組未能進入第二輪”為事件A，其對立事件為$\overline{A}$，則P（A）=1-P$（\overline{A}）$=1-$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$．
（2）由題意可得：ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{4}$，P（ξ=1）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}×（1-\frac{2}{3}）$+$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$（1-\frac{3}{4}）$+$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{7}{16}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{32}$，
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=$\frac{9}{32}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{7}{16}$	$\frac{9}{32}$	$\frac{1}{32}$

∴Eξ=0+1×$\frac{7}{16}$+$2×\frac{9}{32}$+3×$\frac{1}{32}$=$\frac{35}{32}$．

點評 本題考查了相互獨立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式、隨機變量的分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．