Question

9．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（3，\frac{π}{2}）$，曲線C的方程為$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$；以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為-1的直線l經(jīng)過點(diǎn)M．
（1）求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若P為曲線C上任意一點(diǎn)，曲線l和曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，3），從而直線方程為y=-x+3，由$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）求出圓心（1，1）到直線y=-x+3的距離，從而得到圓上的點(diǎn)到直線L的距離最大值，由此能求出△PAB面積的最大值．

解答 解：（1）∵在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（3，\frac{π}{2}）$，
∴x=3cos$\frac{π}{2}$=0，y=3sin$\frac{π}{2}$=3，
∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，3），
∴直線方程為y=-x+3，…．（2分）
由$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，得ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-2y=0，
即（x-1）²+（y-1）²=2…（5分）
（2）圓心（1，1）到直線y=-x+3的距離$d=\frac{{|{-1-1+3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴圓上的點(diǎn)到直線L的距離最大值為$d+R=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
而弦$|{AB}|=2\sqrt{{R^2}-{d^2}}=2\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$
∴△PAB面積的最大值為$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)的互化和點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．