Question

如圖，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的高為3，底面是邊長為4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝0，A₁C₁∩B₁D₁＝O₁，E是O₁A的中點．

(1)求二面角O₁－BC－D的大小；

(2)求點E到平面O₁BC的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)過O作OF⊥BC于F，連接O1F，∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F， 　　∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，　　　　3分 　　∵OB＝2，∠OBF＝60°，∴OF＝． 　　在Rt△O1OF在，tan∠O1FO＝∴∠O1FO＝60° 　　即二面角O1－BC－D為60°　　　　6分; 　　(Ⅱ)在△O1AC中，OE是△O1AC的中位線，∴OE∥O1C 　　∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交線O1F． 　　過O作OH⊥O1F于H，則OH是點O到面O1BC的距離，　　　　9分 　　點E到面O1BC的距離等于OH， 　　∴OH＝∴點E到面O1BC的距離等于　　　　12分 　　解法二：(I)∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如圖所示的空間直角坐標系(如圖) 　　∵底面ABCD是邊長為4，∠DAB＝60°的菱形， 　　∴OA＝2，OB＝2 　　則A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，O1(0，0，3) 　　 　　設平面O1BC的法向量為＝(x，y，z)， 　　則⊥，⊥， 　　∴，則z＝2，x＝－，y＝3， 　　∴＝(－，3，2)，而平面AC的法向量＝(0，0，3) 　　∴cos＜，＞＝ 　　設O1－BC－D的平面角為α，∴cosα＝∴α＝60°． 　　故二面角O1－BC－D為60°; 　　(Ⅱ)設點E到平面O1BC的距離為d， 　　∵E是O1A的中點，∴＝(－，0，)， 　　則d＝ 　　∴點E到面O1BC的距離等于．　　　　12分