Question

已知四邊形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于F，求證：AF=AE．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：可以以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，然后據(jù)題意給出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，然后根據(jù)BE∥AC，AC=CE，利用待定系數(shù)法求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可得CE的直線方程，則F的坐標(biāo)可求，問(wèn)題即可解決．

解答： 證明：如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2）．
再設(shè)E（x，y），由BE∥AC，AC=CE得：

AC

∥

BE

，結(jié)合

AC

=(2，2)，

BE

=(x-2，y)．
所以

2y-2(x-2)=0 22+22 = (x-2)2+(y-2)2

，解得

x=3+ 3 y=1+ 3

或

x=3- 3 y=1- 3

．
當(dāng)E（3+

3

，1+

3

）時(shí)，易求得直線CE方程為y-2=(2-

3

)(x-2)．
令y=0得xF=-2(

3

+1)，故AF=2(

3

+1)．
此時(shí)AE=

(3+ 3 )2+(1+ 3 )2

=2(

3

+1)．所以AF=AE．
當(dāng)E（3-

3

，1-

3

）時(shí)，易求得CE方程為y-2=(2+

3

)(x-2)．
令y=0得xF=2(

3

-1)．所以AF=2(

3

-1)，又AE=

(3- 3 )2+(1- 3 )2

=2(

3

-1)．
綜上，AE=AF成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用向量法證明幾何問(wèn)題的基本思路，一般先建系，然后設(shè)點(diǎn)，再利用題目給的共線、垂直、距離、角度等條件列出方程求解即可．