Question

已知函數(shù)f（x）=

a•5x+(a-2)•5-x

5x+5-x

，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）若該函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，求該函數(shù)的值域并討論該函數(shù)的單調(diào)性，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)定義域?yàn)镽，則f（0）=0，求得a．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，代入解析式得到f（x），理由冪函數(shù)的單調(diào)性求其值域．

解答： 解：（1）因?yàn)樵摵瘮?shù)為奇函數(shù)，并且定義域?yàn)镽，所以（0）=0，即

a+a-2

2

=0，解得a=1；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，該函數(shù)為f（x）=

-5x-3×5-x

5x+5-x

=

-5x- 3 5x

5x+ 1 5x

=

-25x-3

25x+1

=-1-

2

25x+1

，值域?yàn)椋?2，-1）；
理由如下：
因?yàn)?5^x＞0，所以25^x+1＞1，-1＜

-2

25x+1

＜0，-2＜-1-

2

25x+1

＜-1，
所以它的值域?yàn)椋?2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用、值域的求法，本題利用了奇函數(shù)在x=0處的函數(shù)值為0求a，屬基礎(chǔ)題．